第 10 章：OPD 与波前误差

一个点列图告诉我们光线落在哪里。

这很有用。非常有用。在第 7 章中，点列图是我们第一个真正的分析图。在第 9 章中，光线扇形图帮助我们看清实际光线如何偏离近轴参考。我们可以观察横向光线误差，开始识别球差、彗差、像散、场曲、畸变和色差效应。

但这种观察方式存在局限。

一条光线可以落在接近正确位置的地方，而仍然带着错误的相位到达。

这句话是进入本书下一部分的门。

几何光线追踪跟踪光线去向。衍射成像关心光场如何叠加。要用傅里叶方法计算 PSF，我们不仅需要一组光线交点坐标，还需要一个复瞳函数。要建立这个瞳函数，我们需要瞳面上的相位。要得到相位，我们需要光程差。

这就是桥梁：

实际光线追迹
→ 光程长度
→ 光程差
→ 波前误差
→ 瞳面相位
→ PSF
→ OTF
→ MTF

本章是关于这座桥梁的中间部分。

我们将探讨：

什么是光程长度？
什么是 OPD？
什么是参考波前？
为什么 OPD 通常显示在瞳面上？
我们如何在 Python 中创建一个简单的 OPD 图？
这如何连接到 Optiland 的波前分析？

本章不会从完整的光线追迹中计算具有生产质量的 OPD。这需要谨慎的参考几何、出瞳坐标、光线瞄准、焦点约定以及逐面的光程记录。真正的程序库会处理这些细节。例如，当前 Optiland 的波前工具包括 OPD 和波前分析模块，其 Wavefront 类文档记录为根据所选策略计算出瞳光线交点、OPD、光线强度和参考球半径。(Optiland)

我们在这里的工作是理解这些工具在计算什么。

因此，我们将做两件事：

1. 小心地构建概念。
2. 自己生成简化的 OPD 图。

一旦你理解了 OPD 图，第 11 章就可以将其转换为复瞳函数。

那就是几何光学变成傅里叶光学的时刻。

为什么光线落点不够

想象两条光线到达像平面上同一点。

仅从点列图来看，它们看起来完美。它们落在一起。

但假设一条光线走过的光程比另一条稍长。那么当波干涉时，它们的相位可能不匹配。如果相位差很小，它们大部分是相长干涉。如果相位差很大，它们可能部分抵消或在衍射图样中产生结构。

点列图无法显示这一点。

点列图记录横向位置：

x_image, y_image

波前分析记录瞳面上的光程差：

OPD(Px, Py)

这些是不同种类的数据。

光线交点坐标回答：

光线去了哪里？

OPD 回答：

每个瞳面点相对于参考携带了多少光学相位延迟？

两者都很重要。

对于有严重像差的镜头，点列图可以提供很多信息。对于一个接近衍射极限的镜头，点列图可能变得不那么揭示性。几何光斑可能很小，但波前相位仍然决定详细的衍射图样。

这就是为什么我们需要 OPD。

它是光线追迹和 PSF 之间缺失的量。

光程长度

一束光在空气和玻璃中传播时，不仅覆盖了几何距离，还累积了光程长度。

对于折射率为 n 的介质中长度为 ds 的一小段，光程贡献是：

dOPL = n ds

沿整个路径：

OPL = ∫ n ds

在有离散分段的光线追迹器中，这变为：

OPL = n1 s1 + n2 s2 + n3 s3 + ...

其中：

s1, s2, s3 = 几何段长度
n1, n2, n3 = 这些段上的折射率

这正是为什么我们的 Ray 类从第 4 章开始就一直携带 opl。

当我们写：

ray.propagate(distance, refractive_index=n)

我们更新了：

ray.opl += n * distance

当时，这看起来可能像是多余的簿记。现在它变得至关重要。

光线的最终位置告诉我们它落在哪里。

光线累积的 OPL 告诉我们它走了多长的光学距离。

这两条信息导致不同的分析。

一个小小的 OPL 示例

让我们重温一个最简单的路径。

一条光线经过：

空气中 20 mm
玻璃中 5 mm
空气中 20 mm

如果玻璃折射率是 1.5，那么：

几何距离 = 20 + 5 + 20 = 45 mm
OPL = 1.0×20 + 1.5×5 + 1.0×20 = 47.5 mm

用代码：

segments = [
    {"distance_mm": 20.0, "n": 1.0},
    {"distance_mm": 5.0,  "n": 1.5},
    {"distance_mm": 20.0, "n": 1.0},
]

opl = sum(seg["distance_mm"] * seg["n"] for seg in segments)
geometric = sum(seg["distance_mm"] for seg in segments)

print("几何距离 [mm]:", geometric)
print("光程长度 [mm]:", opl)

光线物理上走了 45 mm，但在光学上走了 47.5 mm。

这种差异不是表面功夫。它决定相位。

如果另一条光线走了略微不同的光程，即使它们的几何终点很接近，两条光线也可能以不同的相位到达。

从 OPL 到 OPD

单纯的光程长度还不是波前误差。

OPL 是沿一条射线累积的绝对路径。OPD 是相对于参考的差值。

一个简单的定义是：

OPD = OPL_ray - OPL_reference

但参考的选择很关键。

对于成像，理想的参考通常不是平面。一个朝向像点汇聚的完美会聚波具有以该像点为中心的球波前。所以参考波前通常是一个球面。

这意味着 OPD 被更准确地理解为：

实际波前与选定的参考波前之间的光程差

或者，用射线术语来说：

每条光线的光程与理想参考路径之间相差多少

这就是波前分析变得有些微妙的地方。我们必须决定“理想”意味着什么。

可能的参考选择包括：

主光线参考球
质心参考球
最佳拟合参考球
近轴参考球
像平面参考

不同的选择会去除或保留不同的低阶项，如平移、倾斜和离焦。这不是作弊，而是选择 OPD 图应该回答什么问题。

当前 Optiland 的文档直接反映了这一思想：其 Wavefront 分析接受策略选择，如 chief_ray、centroid_sphere 和 best_fit_sphere，并包含 OPD 数据的 remove_tilt 选项。(Optiland)

这告诉我们一个重要的事情：

OPD 不只是一个原始数值。它是相对于参考几何的数值。

在解释 OPD 图之前，必须先知道参考是什么。

以长度表示的 OPD 与以波长表示的 OPD

OPD 可以用长度单位表达：

OPD = 0.00025 mm

它也可以用波长来表示：

OPD_waves = OPD_length / wavelength

这对于相位通常更有用。

如果波长为 0.5 µm，那么 OPD 为 0.25 µm 就是半个波长：

0.25 µm / 0.5 µm = 0.5 waves

相位与以波长表示的 OPD 的关系为：

phase = 2π × OPD_waves

或使用长度单位：

phase = 2π × OPD_length / wavelength

这种单位转换是错误容易隐藏的地方。

如果 OPL 以毫米存储，波长以微米存储，我们必须转换：

wavelength_mm = wavelength_um × 1e-3

然后：

OPD_waves = OPD_mm / wavelength_mm

让我们编写辅助函数：

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def wavelength_um_to_mm(wavelength_um):
    return wavelength_um * 1e-3

def opd_mm_to_waves(opd_mm, wavelength_um):
    wavelength_mm = wavelength_um_to_mm(wavelength_um)
    return opd_mm / wavelength_mm

def opd_waves_to_phase(opd_waves):
    return 2.0 * np.pi * opd_waves

测试：

opd_um = 0.25
wavelength_um = 0.5

opd_mm = opd_um * 1e-3
waves = opd_mm_to_waves(opd_mm, wavelength_um)

print("OPD [waves]:", waves)
print("phase [radians]:", opd_waves_to_phase(waves))

结果应该是：

0.5 waves
π radians

这一步将在第 11 章中直接被使用。

瞳面坐标

OPD 通常表现为瞳面上的函数。

我们不按像平面坐标绘制 OPD，而是在归一化瞳面坐标上绘制：

Px, Py

其中瞳面圆为：

Px² + Py² <= 1

瞳面坐标标识了采样光线通过瞳面的位置。对于瞳面上的每个点，波前相对于参考有某个光程差。

所以 OPD 图是：

OPD(Px, Py)

这就是为什么波前图看起来像彩色圆盘。圆盘是瞳面。颜色是 OPD。

让我们创建一个瞳面网格。

def make_normalized_pupil_grid(N):
    """创建一个带有圆形瞳面掩膜的方形网格。

    Returns
    -------
    X, Y:
        从 -1 到 +1 的网格坐标。

    R:
        半径 sqrt(X^2 + Y^2)。

    mask:
        布尔圆形孔径掩膜。
    """
    u = np.linspace(-1.0, 1.0, N)
    X, Y = np.meshgrid(u, u)
    R = np.sqrt(X**2 + Y**2)
    mask = R <= 1.0
    return X, Y, R, mask

绘制掩膜：

X, Y, R, mask = make_normalized_pupil_grid(256)

plt.imshow(mask, extent=[-1, 1, -1, 1], origin="lower")
plt.xlabel("Pupil X")
plt.ylabel("Pupil Y")
plt.title("Circular pupil mask")
plt.colorbar(label="inside pupil")
plt.show()

这还不是 OPD。这是 OPD 将要存在的域。

一个简化的波前函数

现在我们将直接生成一个 OPD 图。

这还不是从完整光线追迹计算出来的，而是一个受控的教学模型。我们在瞳面上选择一个波前误差函数，然后将其可视化。

这很有用，因为本章的目标是表示方法：

OPD over pupil → phase → pupil function

OPD 的来源可以是实际光线追迹、拟合的 Zernike 模型、测量的波前传感器，或简化的多项式。表示方法是相同的。

让我们以波长为单位构建一个玩具波前。

使用归一化瞳面坐标：

X, Y ∈ [-1, 1]
R² = X² + Y²

添加简单项：

类离焦项：      2R² - 1
类像散项：      X² - Y²
类彗差项：      (3R² - 2)Y
类球差项：      6R⁴ - 6R² + 1

这些不是严格归一化的 Zernike 多项式，而是教学用的形状。这对于理解 OPD 图如何工作来说足够了。

def toy_opd_waves(X, Y, mask, defocus=0.0, astig=0.0, coma=0.0, spherical=0.0):
    """在归一化圆形瞳面上创建一个以波长为单位的玩具 OPD 图。

    各项为简单教学多项式，非归一化 Zernike 多项式。
    """
    R2 = X**2 + Y**2
    R4 = R2**2

    W = np.zeros_like(X, dtype=float)

    W += defocus * (2.0 * R2 - 1.0)
    W += astig * (X**2 - Y**2)
    W += coma * (3.0 * R2 - 2.0) * Y
    W += spherical * (6.0 * R4 - 6.0 * R2 + 1.0)

    W = np.where(mask, W, np.nan)
    return W

现在创建一个图：

X, Y, R, mask = make_normalized_pupil_grid(256)

W = toy_opd_waves(
    X, Y, mask,
    defocus=0.25,
    astig=0.10,
    coma=0.08,
    spherical=0.05,
)

这里 W 是以波长为单位的 OPD。

这意味着：

W = 1.0 表示一个波长的 OPD
W = 0.5 表示半个波长
W = 0.0 表示等于参考

绘制它：

def plot_opd_map(W, title="OPD map [waves]"):
    plt.imshow(W, extent=[-1, 1, -1, 1], origin="lower")
    plt.xlabel("Pupil X")
    plt.ylabel("Pupil Y")
    plt.title(title)
    plt.colorbar(label="OPD [waves]")
    plt.gca().set_aspect("equal", adjustable="box")
    plt.show()

plot_opd_map(W, title="Toy OPD map")

现在我们有了一个 OPD 图。

它不是一个点列图，不是一个图像，也不是一个 PSF。

它是瞳面上的波前误差。

解读 OPD 图

一个 OPD 图是光程中的高度图。

高区和低区意味着瞳面的不同部分相对于参考具有不同的相位延迟。

一个完美校正的波前在去除不相关的平移和倾斜后将是平坦的：

OPD(Px, Py) ≈ 0

离焦的波前呈碗状或圆顶状。

像散沿着正交瞳面方向改变符号。

彗差具有与视场方向相关的不对称形状。

球差是旋转对称的，但以更高阶的方式随瞳面半径变化。

同样，不要过度记忆这些图片。计算意义更为重要：

每个瞳面点都有一个相位延迟。
OPD 图存储了那个延迟。
瞳函数将把那个延迟转换成复相位因子。

OPD 图不是最终的像质指标，而是一个中间表示。

但它是让衍射得以进入的表示。

平移、倾斜和离焦

一些 OPD 项会以可能对不同分析而言重要或不重要的方式平移波前。

平移

平移是加到各处的常数 OPD：

W_new(Px, Py) = W(Px, Py) + constant

这为整个瞳面添加相同的相位。对于强度 PSF，全局相位因子通常不改变结果。所以平移常常被移除。

倾斜

倾斜是贯穿瞳面的线性相位斜坡：

W(Px, Py) = a Px + b Py

倾斜会移动 PSF 的位置。如果你想独立于指向或主光线偏移来分析像质，可以移除倾斜。如果你关心图像位移，可以保留它。

离焦

离焦是二次波前项。移除离焦相当于改变参考焦点。有时你想移除它以评估最佳焦点。有时你想保留它以了解当前像平面离焦点有多远。

这就是波前软件通常提供移除或保留低阶项选项的原因。

去除了平移的图并不“更真实”。它回答了不同的问题。

让我们编写一个简单的平移移除：

def remove_piston(W, mask):
    """减去瞳面上的平均 OPD。"""
    W2 = W.copy()
    mean = np.nanmean(W2[mask])
    W2[mask] -= mean
    return W2

使用它：

W_no_piston = remove_piston(W, mask)

print("mean before:", np.nanmean(W[mask]))
print("mean after:", np.nanmean(W_no_piston[mask]))

对于倾斜移除，进行平面拟合：

def remove_piston_and_tilt(W, X, Y, mask):
    """从瞳面上的 W 中移除最佳拟合平面 a + bX + cY。"""
    valid = mask & np.isfinite(W)

    A = np.column_stack([
        np.ones(np.count_nonzero(valid)),
        X[valid],
        Y[valid],
    ])

    b = W[valid]
    coeffs, *_ = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)

    plane = coeffs[0] + coeffs[1] * X + coeffs[2] * Y
    W2 = W.copy()
    W2[valid] = W[valid] - plane[valid]

    return W2, coeffs

使用它：

W_flat, coeffs = remove_piston_and_tilt(W, X, Y, mask)

print("removed plane coefficients:", coeffs)
plot_opd_map(W_flat, title="Toy OPD map after piston and tilt removal")

这段代码有意简化了。真正的光学波前工具可能使用参考球、光线瞄准、Zernike 拟合或最佳拟合策略。但思路是相同的：

移除代表参考选择的项
检查残余波前误差

RMS 和峰谷波前误差

两种常见的 OPD 摘要是 RMS 波前误差和峰谷波前误差。

RMS 波前误差为：

RMS = sqrt(mean((W - mean(W))²))

在瞳面上。

峰谷值为：

PV = max(W) - min(W)

在瞳面上。

代码实现：

def wavefront_rms(W, mask):
    valid = mask & np.isfinite(W)
    values = W[valid]
    values = values - np.mean(values)
    return math.sqrt(float(np.mean(values**2)))

def wavefront_pv(W, mask):
    valid = mask & np.isfinite(W)
    values = W[valid]
    return float(np.max(values) - np.min(values))

计算：

print("RMS [waves]:", wavefront_rms(W, mask))
print("PV [waves]:", wavefront_pv(W, mask))

这些数字很有用，但它们不是全部。

具有相同 RMS 的波前可能具有不同的空间结构。一个可能主要是离焦，另一个可能有高频波纹。它们的 PSF 可能不同，它们的 MTF 可能不同。

所以 RMS 是一个摘要，而不是像质神谕。

这一课现在应该感觉很熟悉了。光斑 RMS 并没有取代点列图。波前 RMS 没有取代 OPD 图或 PSF。

OPD 以毫米、微米和波长表示

让我们将玩具波前从波长转换为物理长度。

假设波长为：

λ = 0.5876 µm

那么：

OPD_um = W_waves × λ_um

并且：

OPD_mm = OPD_um × 1e-3

代码：

def opd_waves_to_um(W_waves, wavelength_um):
    return W_waves * wavelength_um

def opd_waves_to_mm(W_waves, wavelength_um):
    return W_waves * wavelength_um * 1e-3

示例：

wavelength_um = 0.5876

W_rms_waves = wavefront_rms(W, mask)
W_rms_um = opd_waves_to_um(W_rms_waves, wavelength_um)

print("RMS [waves]:", W_rms_waves)
print("RMS [µm]:", W_rms_um)

这种转换很重要，因为不同工具以不同方式报告 OPD。一些报告波长，一些报告长度。一些在纳米尺度标记图。一些按分析波长归一化。

例如，Optiland 的 WavefrontData 文档描述了 opd 字段作为归一化到波长的光程差数据。(Optiland)

因此，如果你在工具之间比较输出，务必检查单位。

在 0.5 µm 下 0.1 waves 的波前误差与在 10 µm 下 0.1 waves 的波前误差物理长度不同。

以波长表示时，它们看起来相等。但以微米表示时，它们不相等。

一个线轮廓：OPD 扇形图

OPD 图是一个二维瞳面图。

OPD 扇形图是光线扇形图的波前版本：它显示沿瞳面上一条线的 OPD。

例如：

OPD(Px, 0)

或：

OPD(0, Py)

让我们提取一条经过中心的水平线。

def center_line_profile(W, axis="x"):
    N = W.shape[0]
    c = N // 2

    if axis == "x":
        coord = np.linspace(-1.0, 1.0, N)
        values = W[c, :]
    elif axis == "y":
        coord = np.linspace(-1.0, 1.0, N)
        values = W[:, c]
    else:
        raise ValueError("axis must be 'x' or 'y'")

    return coord, values

绘制：

px, wx = center_line_profile(W_no_piston, axis="x")

plt.plot(px, wx)
plt.axhline(0.0, linewidth=0.8)
plt.axvline(0.0, linewidth=0.8)
plt.xlabel("Pupil X")
plt.ylabel("OPD [waves]")
plt.title("OPD fan through pupil center")
plt.show()

这看起来在精神上类似于光线扇形图，但纵轴不同。

光线扇形图：

transverse image error [mm]

OPD 扇形图：

optical path difference [waves or length]

两者都是瞳面坐标诊断工具。它们回答不同的问题。

光线像差与波像差相关但不相同

很容易说：

光线扇形图是波前的斜率

这个想法中有真理，但需要谨慎。在经典光学理论中，在某些近似下，横向光线像差与波像差的导数相关。在大数值孔径或有复杂波前结构的情况下，这种关系可能需要更谨慎的处理。

对于本书，实际信息是：

光线扇形图显示光线在像平面上偏离的位置。
OPD 图显示瞳面上的光程误差。
它们相互关联，但在所有情况下都不能简单替代。

这对我们的计算链来说足够了。

我们不需要在这里推导完整的数学关系。我们需要理解为什么下一个表示是必要的。

光线落点引导我们得到点列图和光线扇形图。

光程差引导我们得到瞳面相位和衍射。

这就是过渡。

从 OPD 到相位

现在来读本章最重要的一行。

如果 W 是以波长表示的 OPD，那么瞳面相位为：

φ(Px, Py) = 2π W(Px, Py)

代码：

phase = 2.0 * np.pi * W_no_piston

如果 OPD 以毫米为单位，那么：

phase = 2.0 * np.pi * opd_mm / wavelength_mm

这个相位就是复瞳函数所使用的：

P(Px, Py) = A(Px, Py) exp(i φ(Px, Py))

其中：

A(Px, Py) = 孔径振幅
φ(Px, Py) = 来自 OPD 的相位

不要匆忙略过这一点。这是第 10 章与第 11 章之间的交接。

OPD 图是实数值。

瞳函数是复数值。

转换是通过相位进行的。

这就是波前误差如何变成傅里叶光学可以使用的东西。

瞳面相位预览

让我们绘制相位包裹在 -π 和 π 之间的图。

def wrap_phase(phase):
    """将相位包裹到 [-pi, pi]。"""
    return (phase + np.pi) % (2.0 * np.pi) - np.pi

phase = opd_waves_to_phase(W_no_piston)
phase_wrapped = np.where(mask, wrap_phase(phase), np.nan)

plt.imshow(phase_wrapped, extent=[-1, 1, -1, 1], origin="lower")
plt.xlabel("Pupil X")
plt.ylabel("Pupil Y")
plt.title("Wrapped pupil phase")
plt.colorbar(label="phase [radians]")
plt.gca().set_aspect("equal", adjustable="box")
plt.show()

这个图可能看起来比 OPD 图更突兀，因为相位包裹在 ±π 处跳跃。这并不意味着波前在那里物理跳跃，而是相位显示以 2π 为模进行包裹。

这是另一个常见的混淆来源。

对于平滑的波前误差，OPD 通常更容易阅读。

包裹的相位对于观察复场的周期性很有用。

两者都是相同底层延迟的视图。

一个特意简化的 OPD 到 PSF 预览

我们还没有进入完整的 PSF 章节，但一个小小的预览有助于展示为什么 OPD 很重要。

给定：

孔径振幅 A
相位 φ

瞳面场为：

pupil = A exp(iφ)

一个简化的夫琅禾费 PSF 可以从瞳场傅里叶变换的模平方计算出来。

现在不必担心缩放。第 12 章将妥善处理这一点。这里的目的仅仅是展示改变 OPD 会改变衍射图样。

def quick_psf_from_opd(W_waves, mask):
    """根据以波长表示的 OPD 生成一个最小化、未缩放的 PSF 预览。

    这只是为了直观理解。第 12 章将处理采样和缩放。
    """
    phase = 2.0 * np.pi * np.nan_to_num(W_waves, nan=0.0)
    pupil = mask.astype(float) * np.exp(1j * phase)

    field = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(np.fft.ifftshift(pupil)))
    psf = np.abs(field)**2
    psf = psf / psf.sum()

    return psf

比较一个平坦波前和一个有像差的波前：

W_flat = np.where(mask, 0.0, np.nan)
psf_flat = quick_psf_from_opd(W_flat, mask)
psf_aberrated = quick_psf_from_opd(W_no_piston, mask)

绘制一个：

def plot_psf_preview(psf, title):
    plt.imshow(np.log10(psf + 1e-12), origin="lower")
    plt.title(title)
    plt.colorbar(label="log10 intensity")
    plt.show()

plot_psf_preview(psf_flat, "Preview PSF: flat wavefront")
plot_psf_preview(psf_aberrated, "Preview PSF: aberrated wavefront")

这只是一个预览，但它使桥梁可见。

点列图来自光线交点坐标。

PSF 来自复瞳场。

复瞳场来自孔径振幅和 OPD 导出的相位。

因此，PSF/MTF 不能仅通过光线落点来完全解释。

它们需要波前相位。

实际光线追迹如何提供 OPD

我们的玩具 OPD 图是从多项式项创建的。真正的波前分析必须从光学系统计算 OPD。

概念上的步骤如下：

1. 选择视场和波长。
2. 在瞳面上采样光线。
3. 通过光学系统追迹光线。
4. 为每条光线累积光程长度。
5. 确定一个参考波前或参考球。
6. 将每条光线的光程与参考比较。
7. 在瞳面坐标上存储 OPD。
8. 可选择移除平移、倾斜或焦点项。

第 5 步是微妙的一步。参考波前是使 OPD 有意义的东西。没有它，你只有 OPL 值，没有波前误差。

这也是为什么生产工具会暴露策略选项。策略定义了参考几何是如何选择的。

在 Optiland 文档记载的 Wavefront 类中，参数包括视场、波长、光线数量、分布模式如 hexapolar、策略选择、无焦模式以及倾斜移除。文档说明该类计算出瞳光线交点、OPD、光线强度和参考球半径。(Optiland)

这就是上述概念列表的程序库级别版本。

一个简化的从 OPL 到 OPD 的草图

让我们编写一个草图来澄清 OPL 和 OPD 之间的区别。

假设我们有几条光线，每条有：

瞳面坐标
OPL
参考 OPL

那么：

def compute_opd_from_opl(opl_values, reference_opl_values):
    """将 OPD 计算为 OPL 差值。"""
    return np.asarray(opl_values) - np.asarray(reference_opl_values)

如果参考只是主光线 OPL，那么：

def compute_opd_relative_to_chief(opl_values, chief_index):
    opl_values = np.asarray(opl_values, dtype=float)
    return opl_values - opl_values[chief_index]

这很简单，但不是一个完整的成像 OPD 计算。仅基于主光线 OPL 的差值可能不包括到像点的正确球面参考。它可能根据几何结构混入倾斜或离焦。

这就是为什么这段代码只是一个草图。

真正要点是：

OPL 沿光线累积。
OPD 是 OPL 与选定参考的比较。
波前误差是在瞳面上解释的 OPD。

将这三者区分开。

Optiland OPD 图比较

Optiland 提供了更高级别的 OPD 工具，因此实际工作流程可以比我们的教学模型短得多。

当前文档库展示了一个 OPD 图示例，使用：

from optiland.samples.infrared import InfraredTripletF4
from optiland.wavefront import OPD

lens = InfraredTripletF4()
lens.draw()

opd = OPD(lens, field=(0, 1), wavelength=4.2)
opd.view()

该示例将输出标记为在瞳面坐标上的 OPD 图，并报告以波长表示的 RMS。(Optiland)

对于一个可见光单透镜，概念性工作流程看起来类似：

from optiland import optic
from optiland.wavefront import OPD

lens = optic.Optic()

lens.surfaces.add(index=0, radius=float("inf"), thickness=float("inf"))
lens.surfaces.add(index=1, radius=50.0, thickness=5.0, material="N-BK7", is_stop=True)
lens.surfaces.add(index=2, radius=-50.0, thickness=45.0)
lens.surfaces.add(index=3)

lens.set_aperture(aperture_type="EPD", value=10.0)
lens.fields.set_type("angle")
lens.fields.add(y=0.0)
lens.wavelengths.add(value=0.5876, is_primary=True)

opd = OPD(lens, field=(0, 0), wavelength=0.5876)
opd.view()

请将此视为程序库级别的比较代码。具体行为可能取决于安装的 Optiland 版本和光学模型。重要的计算意义是稳定的：

程序库对瞳面进行采样
追迹光线
相对于参考几何计算 OPD
在瞳面坐标上显示 OPD

本章中的教学代码直接将 OPD 生成为多项式图。Optiland 从实际光学系统计算 OPD。

两者产生相同类型的对象：

OPD(Px, Py)

那个对象正是第 11 章所需要的。

波前分析和 Zernike 系数

OPD 图经常被分解为 Zernike 多项式。

Zernike 是一组定义在单位圆上的函数。它们很有用，因为瞳面通常是圆形的，而常见的像差类形状可以用低阶 Zernike 项表示。

例如，类 Zernike 项可以表示：

平移
倾斜
离焦
像散
彗差
球差

这就是为什么光学软件经常在 OPD 图旁边报告 Zernike 系数。

我们不会在这里推导 Zernike 多项式。本章的目的更基本：理解 OPD 图本身。

但了解 Zernike 的位置是有帮助的：

OPD 图：
    瞳面上原始或计算得出的波前误差

Zernike 拟合：
    该 OPD 图的紧凑系数表示

Zernike 表不是理解 OPD 的替代品。它是描述它的一种紧凑方式。

Optiland 的波前 API 概览包括与 OPD、波前、参考几何以及 PSF/MTF 模块并列的 Zernike 相关 OPD 模块。(Optiland)

这种放置是合理的：Zernike 是波前分析的一部分，而不是一个独立的宇宙。

OPD 能告诉你什么，不能告诉你什么

OPD 很强大，但我们不应该夸大它。

OPD 可以告诉你：

瞳面上的相位误差
RMS 波前误差
峰谷波前误差
主要的低阶波前形状
瞳面相位是否接近平坦
波前误差如何随视场或波长变化

OPD 本身不直接告诉你：

完整的 PSF 强度分布
MTF 曲线
传感器采样效应
杂散光
镀膜鬼影
制造公差
偏振效应
散射

OPD 是衍射计算的输入，而不是最终答案。

这与我们之前看到的模式相同。

处方不是光线追迹。

光线追迹不是点列图。

点列图不是波前。

波前不是 PSF。

PSF 不是 MTF。

每个表示都保留了一些信息，转换了一些信息，并丢弃或摘要了一些信息。

技能在于知道哪个表示回答哪个问题。

一个有用的心理模型

这是记住这种过渡的最简单方法：

光线位置误差：
    “光线落在了哪里？”

波前误差：
    “波在这个瞳面点是迟到还是早到？”

光线扇形图将第一种误差相对于瞳面坐标绘制。

OPD 扇形图将第二种误差相对于瞳面坐标绘制。

点列图显示光线落点。

OPD 图显示瞳面上的相位延迟。

PSF 将显示当所有这些瞳面贡献干涉时会发生什么。

最后一个词很重要：干涉。

光线图不干涉。波会干涉。

OPD 是光线追迹世界将相位信息交给波动光学世界的方式。

OPD 常见错误

在我们继续之前，让我们指出陷阱。

错误 1：混淆 OPL 和 OPD

OPL 是沿光线累积的光程长度。

OPD 是该路径与参考之间的差值。

一个 OPL 值列表不会自动成为波前图。

错误 2：忘记参考几何

OPD 总是取决于参考。主光线球、质心球、最佳拟合球、近轴焦点以及像平面参考可能给出不同的图。

询问使用了什么参考。

错误 3：混淆长度单位和波长

如果 OPD 以毫米为单位，波长以微米为单位，在相除之前进行转换。

wavelength_mm = wavelength_um × 1e-3

错误 4：将平移视为图像劣化

常数相位偏移通常不会改变强度 PSF。平移在干涉测量或分段系统中可能很重要，但对于普通的单瞳 PSF 强度，它经常被移除。

错误 5：不清楚移除倾斜的含义就移除

移除倾斜会使波前相位重新居中，并常常移动 PSF 参考。这可能是可取的，但它改变了所问的问题。

错误 6：总是把离焦视为不好或总是可移除的

离焦可能代表错误的像平面、有意的焦点移动，或者你想优化去掉的项。不要盲目移除它。

错误 7：将包裹的相位解读为物理不连续

相位在 ±π 处包裹。包裹相位中的跳变可能只是显示包裹，而非物理不连续。

错误 8：认为 RMS 波前误差讲述全部故事

RMS 很有用，但具有相同 RMS 的不同 OPD 形状可能产生不同的 PSF 和 MTF。

错误 9：忘记波长依赖性

相同的物理 OPD 长度在不同波长下对应不同的波长数。

错误 10：期望 OPD 取代光线图

OPD 是波前表示。光线扇形图和点列图仍然是有用的几何诊断工具。

本章给了我们什么

我们现在已经跨越了从几何光线追迹到波动光学的桥梁。

我们可以解释：

OPL 作为 n ds 累积
OPD 作为相对于参考的光程差
为什么 OPD 绘制在瞳面坐标上
为什么 OPD 可以用长度或波长表示
OPD 如何变成相位
为什么平移、倾斜和离焦依赖于分析惯例
如何生成玩具 OPD 图
如何计算 RMS 和 PV 波前误差
OPD 图如何不同于点列图和光线扇形图
Optiland 的波前工具如何融入同一链条

核心变换是：

以波长表示的 OPD(Px, Py)
→ phase φ(Px, Py) = 2π OPD(Px, Py)

这就是与下一章的确切交接。

前方的路

现在我们有了一个实值波前误差图。

但衍射计算需要瞳面上的复场。

该场有两部分：

振幅：光线在哪里通过以及有多强
相位：每个瞳面点携带多少光学延迟

孔径掩膜提供振幅。

OPD 图提供相位。

它们一起构成瞳函数：

P(Px, Py) = A(Px, Py) exp(i 2π W(Px, Py))

其中 W 是以波长表示的 OPD。

第 11 章将仔细构建那个瞳函数。一旦我们有了它，PSF 就不再是一个神秘的像质图，而是一个复瞳场的傅里叶变换，随之而来的所有关于采样、缩放和归一化的常见警告也在附近等待。

我们快要理解了。

光线追迹器告诉我们光去了哪里。

OPD 图告诉我们波前如何被延迟。

瞳函数将把那个延迟转化为每个瞳面点上的复数。

那就是衍射计算开始的地方。

生成的验证图

来源和验证说明

OPD 的讨论有意考虑了约定。OPD 只有在定义了参考波前或参考几何之后才有意义。本章中的玩具 OPD 图验证了表示方法和相位转换；它不能替代生产级的光线瞄准、出瞳分析、参考球拟合或 Zernike 报告。